フックの法則
長さ変化が微小な時、フックの法則はありふれた力学的ばねの物理的性質を正確に表す（アニメーションも参照）。
連続体力学 | ||||||||
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フックの法則（フックのほうそく、英: Hooke's law）は、力学や物理学における構成則の一種で、ばねの伸びと弾性限度以下の荷重は正比例するという近似的な法則である。弾性の法則（だんせいのほうそく）とも呼ばれる。フックの法則が近似として成り立つ物質を線形弾性体またはフック弾性体 (Hookean elastic material) と呼ぶ。
フックの法則は17世紀のイギリスの物理学者、ロバート・フックが提唱したものであり、彼の名を取ってフックの法則と名づけられた。フックは1676年にラテン語のアナグラムでこの法則を記述し[1]、1678年にアナグラムの答えが羅: Ut tensio, sic vis (英: As extension, so is force)、即ち
| 「 | 伸びとともに、力あり。（力は伸びに比例する。） | 」 |
であると発表した。フックの法則に従う系では、荷重は伸びに正比例し
F=kx{displaystyle {boldsymbol {F}}=k{boldsymbol {x}}}
と表される。ここで
x{displaystyle {boldsymbol {x}}}は自然長からの伸び、または縮み（自然長とは、荷重のないばねが自然に停止する位置のこと
F{displaystyle {boldsymbol {F}}}はばねによる反力
k{displaystyle k}はばね定数と呼ばれる定数。個々のばね固有の値であり、ばねの強さを表している。
この法則が適用できるとき、その挙動は線型と呼ばれ、グラフに表すと正比例の直線グラフとなる。また、反力は常にx変位の反対方向へと働くため、数式の右辺には負の符号がつく（例えばばねを右へと伸ばしたとき、ばねは左に向かって引きつける）。
上の式が成り立つのは x{displaystyle {boldsymbol {x}}}
目次
1 弾性体
2 ばねの方程式
3 ばねが複数の場合
3.1 導出
4 フックの法則のテンソル表現
4.1 等方性物質
5 ゼロ長ばね
6 関連項目
7 参考文献
8 外部リンク
弾性体
弾性体は、荷重を加えると変形を起こすが、除荷すると元の形へと戻る（即ち、物質中の分子や原子が初期の安定な釣り合い状態へと戻る）性質を持つ。こうした弾性体は多くの場合フックの法則に従う。
長さL（m）と断面積A（m2）を持つ弾性材料から出来た棒を線型なばねとみなした時、そのひずみε{displaystyle varepsilon }
σ=Eε{displaystyle sigma =Evarepsilon }
または
ΔL=FEAL=σEL{displaystyle Delta L={frac {F}{EA}}L={frac {sigma }{E}}L}
である。
フックの法則は、限定された荷重条件下における幾つかの材料に関してのみ成り立つ。鋼を工学的に応用するとき、多くの場合において線形弾性の挙動を示す。よってフックの法則はその弾性域（即ち、降伏応力より下の応力）において成立する。しかしアルミニウムのような一部の材料においては、フックの法則は弾性域の一部でしか成り立たない。このような材料では耐力と呼ばれる比例限度が定義され、比例限度以下においてのみ線形近似と実際の挙動との誤差を無視することができる。
ゴムは一般には非フック弾性 ("non-hookean" elasticity) の材料であると考えられる。これは、弾性が応力に依存し、また温度と荷重速度 (loading rate) に敏感であるためである。
フックの法則の応用としては、ばねを用いた秤や、材料の応力解析、モデル化などがある。
ばねの方程式
低炭素鋼の応力-ひずみ線図。フックの法則は曲線全体のうち、原点と降伏点の間の一部でしか成り立たない。
1. 極限強さ
2. 降伏応力（降伏点）
3. 破断強さ（破断点）
4. 塑性硬化領域
5. くびれ領域
A: 公称応力 (F/A0)
B: 真応力（実応力） (F/A)
最もよく使われる形式のフックの法則はおそらくばねの方程式だろう。ばねの方程式では、力とばねの自然長からの伸びがばね定数k{displaystyle k}
F=−kx{displaystyle F=-kx,}
マイナスの符号はばねによる力が変位とは正反対の方向に働くことを示している。この力は系を釣り合いの状態へ戻すように働くため、復元力とよばれる。
ばねに蓄えられたポテンシャルエネルギーは
U=12kx2{displaystyle U={1 over 2}kx^{2}}
で与えられる。このエネルギーの式はばねを徐々に押し縮めてゆくのに必要なエネルギーを足し合わせることで得られる。即ち、力を距離に関して積分しているに等しい。ばねのポテンシャルエネルギーは常に符号が正である。
このポテンシャルをU-x面に描くと、放物線（二次関数のグラフ）となる。ばねがxの正方向に伸ばされるに伴い、ポテンシャルエネルギーは増加する（ばねを縮めた場合にも同じことが起こる）。また、釣り合いの位置 (x = 0) が最もエネルギーが低いため、ばねはポテンシャルエネルギーを小さくするように釣り合いの位置へと戻ろうとする。これはポテンシャルエネルギーのグラフの上を、重力によるポテンシャルを最小にするようにボールが転がり落ちることに似ている。
もし質量mの物体がこのようなばねに繋がれている場合、その系は調和振動子となる。この系は以下の式で与えられる基本周波数で振動する。
ω=km{displaystyle omega ={sqrt {k over m}}}
または
f=12πkm{displaystyle f={1 over 2pi }{sqrt {k over m}}}
ここでf{displaystyle f}
様々な格子のばね定数などについては後述する。
ばねが複数の場合
2つのばねが物体に繋がれている場合、ばね定数やエネルギーなどは全体として以下のような値をもつ。
| 値の名前 | 直列の場合 | 並列の場合 |
|---|---|---|
 |  | |
| 全体のばね定数 | 1keq=1k1+1k2{displaystyle {frac {1}{k_{eq}}}={frac {1}{k_{1}}}+{frac {1}{k_{2}}},}  | keq=k1+k2{displaystyle k_{eq}=k_{1}+k_{2},}  |
| 縮まる距離の関係 | x1x2=k2k1{displaystyle {frac {x_{1}}{x_{2}}}={frac {k_{2}}{k_{1}}},}  | x1=x2{displaystyle x_{1}=x_{2},}  |
| 蓄えられるエネルギー | E1E2=k2k1{displaystyle {frac {E_{1}}{E_{2}}}={frac {k_{2}}{k_{1}}},}  | E1E2=k1k2{displaystyle {frac {E_{1}}{E_{2}}}={frac {k_{1}}{k_{2}}},}  |
導出
| ばね定数（直列） |
|---|
直列の場合におけるkeq{displaystyle k_{eq}}  の導出は、並列の場合よりも難しい。ブロックの釣り合いの位置をx2{displaystyle x_{2}} と定義し、ブロックに働く力についてのFb=−keqx2{displaystyle F_{b}=-k_{eq}x_{2},} という形式の方程式を求める。 まず初めに、2つのばねの間の点の釣り合いの位置をx1{displaystyle x_{1}} ブロックに働く力は Fb=−k2(x2−x1)(1){displaystyle F_{b}=-k_{2}left(x_{2}-x_{1}right)quad quad quad (1),} である。 一方、2つのばねの間に働く力は Fs=−k1x1+k2(x2−x1){displaystyle F_{s}=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1}),} である。 今ブロックを押したとすると、ばねが圧縮されて系は釣り合うようになる。このとき、ばねの間に働く力は和が0にならなくてはならないため、Fs=0{displaystyle F_{s}=0} −k1x1+k2(x2−x1)=0−k1x1−k2x1=−k2x2(k1+k2)x1=k2x2{displaystyle {begin{aligned}&-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1})=0\&-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{1}=-k_{2}x_{2}\&left(k_{1}+k_{2}right)x_{1}=k_{2}x_{2}end{aligned}}} よって x1=k2k1+k2x2{displaystyle x_{1}={frac {k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}x_{2},} である。 ここでこの式を(1)式に代入して
故に、以下のようにブロックに働く力を求めることが出来る。 Fb=−(k1k2k1+k2)x2{displaystyle F_{b}=-left({frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}right)x_{2}} よって丸括弧全体を見かけのばね定数として定義することが出来る。 keq=k1k2k1+k2{displaystyle k_{eq}={frac {k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}} これは以下のように書き直すこともできる。 1keq=1k1+1k2{displaystyle {frac {1}{k_{eq}}}={frac {1}{k_{1}}}+{frac {1}{k_{2}}}} |
| ばね定数（並列） |
|---|
並列の場合には両方のばねがブロックと壁に接していなくてはならないため、2つのばねの圧縮量は常に等しくなる。 ブロックに働く力は
であり、これを整理してブロックに働く力は Fb=−(k1+k2)x{displaystyle F_{b}=-(k_{1}+k_{2})x,} となる。 よって、ばね全体の見かけのばね定数を keq=k1+k2{displaystyle k_{eq}=k_{1}+k_{2},} と定義することが出来る。 |
| 縮む距離 |
|---|
直列の場合、2つのばねに働く力の大きさは等しい：
ばね1では、x1{displaystyle x_{1}} a1=x1a2=x2−x1{displaystyle {begin{aligned}a_{1}&=x_{1}\a_{2}&=x_{2}-x_{1}end{aligned}}} と定義する。 これらの定義を先ほどの力の関係式に代入すると、直列の場合における縮む距離の関係を得ることができる。 a1a2=k2k1{displaystyle {frac {a_{1}}{a_{2}}}={frac {k_{2}}{k_{1}}},} |
| 蓄えられるエネルギー |
|---|
直列の場合、ばねに蓄えられるエネルギーの比は E1E2=12k1a1212k2a22{displaystyle {frac {E_{1}}{E_{2}}}={frac {{frac {1}{2}}k_{1}a_{1}^{2}}{{frac {1}{2}}k_{2}a_{2}^{2}}},} である。しかしここで、a1{displaystyle a_{1}} E1E2=k1k2(k2k1)2=k2k1{displaystyle {frac {E_{1}}{E_{2}}}={frac {k_{1}}{k_{2}}}left({frac {k_{2}}{k_{1}}}right)^{2}={frac {k_{2}}{k_{1}}},} を得る。 平行の場合、 E1E2=12k1x212k2x2{displaystyle {frac {E_{1}}{E_{2}}}={frac {{frac {1}{2}}k_{1}x^{2}}{{frac {1}{2}}k_{2}x^{2}}},} 2つのばねの縮まる距離は等しいため、この式を約分して E1E2=k1k2{displaystyle {frac {E_{1}}{E_{2}}}={frac {k_{1}}{k_{2}}},} と単純に表すことができる。 |
フックの法則のテンソル表現
3次元の応力が働いている状態では、81個の弾性係数をもつ4階の弾性係数テンソル (cijkl{displaystyle c_{ijkl}}
σij=∑klcijkl⋅εkl{displaystyle sigma _{ij}=sum _{kl}c_{ijkl}cdot varepsilon _{kl}}
弾性係数テンソルは81個の弾性係数をもっているが、応力テンソル、ひずみテンソル、剛性テンソルの対称性により、異方性を示す物質でも21個の弾性係数のみが独立である。
応力は圧力の単位で表され、ひずみは無次元量である時、cijkl{displaystyle c_{ijkl}}
大ひずみに関しての一般化としては、ネオ・フック固体 (neo-Hookean solid) やムーニー＝リブリン固体 (Mooney-Rivlin solid) によって与えられる。
等方性物質
等方性物質はその性質が方向によって変化することの無い物質のことである。そのため等方性物質に関連する物理の方程式は、その系を表す座標系に拠ることは無い。ひずみテンソルは対称テンソルとなる。どのようなテンソルの跡も座標系に拠らないため、対称テンソルの最も完全な座標系非依存の分解の方法は、対称テンソルを定数テンソルと跡が0の (traceless) 対称テンソルの和として表現する方法である[2]。
よって
εij=(13εkkδij)+(εij−13εkkδij){displaystyle varepsilon _{ij}=left({frac {1}{3}}varepsilon _{kk}delta _{ij}right)+left(varepsilon _{ij}-{frac {1}{3}}varepsilon _{kk}delta _{ij}right)}
ここでδij{displaystyle delta _{ij}}
フックの法則の等方性物質における最も一般的な形式は、これら2つのテンソルの線型結合として書き直すことができ、
σij=3K(13εkkδij)+2G(εij−13εkkδij){displaystyle sigma _{ij}=3Kleft({frac {1}{3}}varepsilon _{kk}delta _{ij}right)+2Gleft(varepsilon _{ij}-{frac {1}{3}}varepsilon _{kk}delta _{ij}right),}
である。ここでKは体積弾性率であり、Gはせん断弾性率である。
弾性係数の間の関係を用いて、これらの等式は違った形で表現することができる。例えば、ひずみは応力テンソルを用いて
ε11=1E(σ11−ν(σ22+σ33))ε22=1E(σ22−ν(σ11+σ33))ε33=1E(σ33−ν(σ11+σ22))ε12=σ12Gε13=σ13Gε23=σ23G{displaystyle {begin{aligned}&varepsilon _{11}={frac {1}{E}}left(sigma _{11}-nu (sigma _{22}+sigma _{33})right)\&varepsilon _{22}={frac {1}{E}}left(sigma _{22}-nu (sigma _{11}+sigma _{33})right)\&varepsilon _{33}={frac {1}{E}}left(sigma _{33}-nu (sigma _{11}+sigma _{22})right)\&varepsilon _{12}={frac {sigma _{12}}{G}}\&varepsilon _{13}={frac {sigma _{13}}{G}}\&varepsilon _{23}={frac {sigma _{23}}{G}}end{aligned}}}
と表すことができる。ここでE{displaystyle E}
| 3Dにおけるフックの法則の導出 |
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3次元の形式のフックの法則はポアソン比と1次元のフックの法則を用いて以下のように導出することができる。ひずみと応力の関係を
という2つの効果の重ね合わせとして考える。 ε1′=1Eσ1{displaystyle varepsilon _{1}'={frac {1}{E}}sigma _{1}} ここでν{displaystyle nu } ε1″=−νε2{displaystyle varepsilon _{1}''=-nu varepsilon _{2}} と ε1‴=−νε3{displaystyle varepsilon _{1}'''=-nu varepsilon _{3}} とを得る。これら3つの場合を一緒に足し合わせて (εi=εi′+εi″+εi‴{displaystyle varepsilon _{i}=varepsilon _{i}'+varepsilon _{i}''+varepsilon _{i}'''} ε1=1E(σ1−ν(σ2+σ3)){displaystyle varepsilon _{1}={frac {1}{E}}(sigma _{1}-nu (sigma _{2}+sigma _{3}))} または以下のように整理できる。 ε1=1E((1+ν)σ1−ν(σ1+σ2+σ3)){displaystyle varepsilon _{1}={frac {1}{E}}((1+nu )sigma _{1}-nu (sigma _{1}+sigma _{2}+sigma _{3}))} これをσ1{displaystyle sigma _{1}} σ1=E1+νε1+ν1+ν(σ1+σ2+σ3){displaystyle sigma _{1}={frac {E}{1+nu }}varepsilon _{1}+{frac {nu }{1+nu }}(sigma _{1}+sigma _{2}+sigma _{3})} となる。総和を計算して ∑i=1,2,3εi=1E((1+ν)∑i=1,2,3σi−3ν(∑i=1,2,3σi))=1−2νE∑i=1,2,3σi{displaystyle sum _{i=1,2,3}varepsilon _{i}={frac {1}{E}}((1+nu )sum _{i=1,2,3}sigma _{i}-3nu (sum _{i=1,2,3}sigma _{i}))={frac {1-2nu }{E}}sum _{i=1,2,3}sigma _{i}} そしてσ1{displaystyle sigma _{1}} σ1=E1+νε1+Eν(1+ν)(1−2ν)(ε1+ε2+ε3){displaystyle sigma _{1}={frac {E}{1+nu }}varepsilon _{1}+{frac {Enu }{(1+nu )(1-2nu )}}(varepsilon _{1}+varepsilon _{2}+varepsilon _{3})} ここでμ{displaystyle mu } |
ゼロ長ばね
ゼロ長ばね、ゼロ長スプリング、零長スプリング (Zero-length spring) とは自然長がゼロであるばねを表す用語である。このばねにおいては、ばねによる力はばねの伸びではなく、ばねの長さそのものに比例するような振る舞いを示す。
関連項目
弾性
- 弾性限界
- 弾性係数
- 線型弾性
- ポアソン比
- 応力
- ポテンシャルエネルギー
- 固体力学
参考文献
^ アナグラムは ceiiinossssttuu だった“アーカイブされたコピー”. 2010年11月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年11月17日閲覧。（リンク先はカテナリー曲線に対するアナグラムであるが、次の段落にこの記述がある）
^ Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 0-201-07392-7
- A.C. Ugural, S.K. Fenster, Advanced Strength and Applied Elasticity, 4th ed
Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 0-201-07392-7.
外部リンク
- 振り子とフックの法則: one interactive WebModel（英語）
- フックの法則を動きで実演するJava Applet（英語）
