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この項目では、量子力学での波動関数の規格化について説明しています。工業・産業での規格化については「標準化」を、ベクトル、数量、データなどの規格化については「正規化」をご覧ください。

規格化 (normalization)

ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、

∫|Ψ|2dr=1{displaystyle int |Psi |^{2}dmathbf {r} =1}

とすることが規格化（正規化とも言う）である。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。

∫Vcell|Ψ|2dr=1{displaystyle int _{V_{cell}}|Psi |^{2}dmathbf {r} =1}

ここで、V_cell は単位胞の体積である。

直交座標系を考えて、r=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は Ψ=Ψ(x,y,z,t)=Ψ(r,t){displaystyle Psi =Psi (x,y,z,t)=Psi (mathbf {r} ,t)} で表され、これは、

∫|Ψ|2dr=∫|Ψ(r,t)|2dr=1{displaystyle int |Psi |^{2}dmathbf {r} =int |Psi (mathbf {r} ,t)|^{2}dmathbf {r} =1}

と規格化される。これは、ある時刻ｔで粒子が位置 r での微小な領域 dr(=dxdydz) に存在する確率が、|Ψ(r,t)|2dr{displaystyle |Psi (mathbf {r} ,t)|^{2}dmathbf {r} } であることを示している。それを全空間（粒子の存在しうる全領域）で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。

デルタ関数による規格化

実際の量子論では、自乗積分が∞に発散するような関数を扱うことも多い。

∫|ψk(r,t)|2dr=∞{displaystyle int |psi _{k}(mathbf {r} ,t)|^{2}dmathbf {r} =infty }

その場合は、次のようなデルタ関数による規格化を許している。

∫ψk∗(r,t)ψk′(r,t)dr=δ(k−k′){displaystyle int psi _{k}^{*}(mathbf {r} ,t)psi _{k'}(mathbf {r} ,t)dmathbf {r} =delta (k-k')}

この場合における|ψk(r,t)|2{displaystyle |psi _{k}(mathbf {r} ,t)|^{2}}は、ある時刻ｔで位置r{displaystyle mathbf {r} }の測定をした時の確率密度p(r,t){displaystyle p(mathbf {r} ,t)}ではなく、次のように相対確率を表す^[1]。

p(r,t)≠|ψk(r,t)|2{displaystyle p(mathbf {r} ,t)neq |psi _{k}(mathbf {r} ,t)|^{2}}

p(r,t)∝|ψk(r,t)|2{displaystyle p(mathbf {r} ,t)varpropto |psi _{k}(mathbf {r} ,t)|^{2}}

参考文献

1. 
   ^ 清水明 『量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社〈新物理学ライブラリ〉、2004年4月、新版。ISBN 4-7819-1062-9。