完全系




完全系（かんぜんけい、英: complete system[1]）とは、ある関数やベクトル[要曖昧さ回避]の集合が、任意の関数やベクトルなどを線形結合で展開[要曖昧さ回避]できる時の集合のこと。




目次






  • 1 ベクトルの完全系


    • 1.1 完全性関係




  • 2 関数の完全系


  • 3 脚注


  • 4 参考文献


  • 5 関連項目





ベクトルの完全系


ヒルベルト空間 H{displaystyle {mathcal {H}}}mathcal{H} 上のどんなベクトル |ψ⟩{displaystyle |psi rangle }|psi rangle も、同じ H{displaystyle {mathcal {H}}}mathcal{H} 上のベクトル達 {|1⟩,|2⟩,…}{displaystyle {|1rangle ,|2rangle ,dots }}{|1rangle ,|2rangle ,dots } の線形結合で表せる場合、{|1⟩,|2⟩,⋯}{displaystyle {|1rangle ,|2rangle ,cdots }}{|1rangle ,|2rangle ,cdots } は H{displaystyle {mathcal {H}}}mathcal{H} の完全系を成す、と言う。このとき、任意のベクトル |ψ⟩{displaystyle |psi rangle }|psi rangle は以下のように表される。


|ψ⟩=c1|1⟩+c2|2⟩+⋯=∑ncn|n⟩{displaystyle |psi rangle =c_{1}|1rangle +c_{2}|2rangle +cdots =sum _{n}c_{n}|nrangle }|psi rangle =c_{1}|1rangle +c_{2}|2rangle +cdots =sum _{n}c_{n}|nrangle


完全性関係


以下の関係を完全性関係と呼ぶ。


∑n|n⟩⟨n|=1^{displaystyle sum _{n}|nrangle langle n|={hat {1}}}sum _{n}|nrangle langle n|={hat {1}}

{|n⟩}{displaystyle {|nrangle }}{|nrangle } がこの完全性関係を満たす場合、{|n⟩}{displaystyle {|nrangle }}{|nrangle } は完全形を成す。逆に、{|n⟩}{displaystyle {|nrangle }}{|nrangle } が完全系ならば、{|n⟩}{displaystyle {|nrangle }}{|nrangle } について完全性関係が成り立つ。



関数の完全系


任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を完全系と呼ぶ。



  • {1,cos⁡x,cos⁡2x,…,sin⁡x,sin⁡2x,…} {displaystyle {1,cos x,cos 2x,dots ,sin x,sin 2x,dots } }{1,cos x,cos 2x,dots ,sin x,sin 2x,dots } は完全系である。よって、−π≤x≤π{displaystyle -pi leq xleq pi }-pi leq xleq pi の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。


  • 球面調和関数やルジャンドル多項式も、以下の直交関係を満たす完全系である。

    ∫θ=0π∫φ=02πYℓm(θ,φ)Yℓ′m′∗(θ,φ)sin⁡θdθdφ=δℓℓ′δmm′{displaystyle int _{theta =0}^{pi }int _{varphi =0}^{2pi }Y_{ell }^{m}(theta ,varphi ),Y_{ell '}^{m'*}(theta ,varphi ),sin theta ,dtheta ,dvarphi =delta _{ell ell '},delta _{mm'}}int _{{theta =0}}^{pi }int _{{varphi =0}}^{{2pi }}Y_{ell }^{m}(theta ,varphi ),Y_{{ell '}}^{{m'*}}(theta ,varphi ),sin theta ,dtheta ,dvarphi =delta _{{ell ell '}},delta _{{mm'}}

    ∫−11Pm(x)Pn(x)dx=22n+1δmn{displaystyle int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x),dx={2 over {2n+1}}delta _{mn}}int _{{-1}}^{{1}}P_{m}(x)P_{n}(x),dx={2 over {2n+1}}delta _{{mn}}



  • 他の完全系の例としては、エルミート多項式、ラゲール多項式、ゲーゲンバウアー多項式、ベッセル関数などがある。


脚注


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  1. ^ 文部省、日本物理学会編 『学術用語集 物理学編』 培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。[リンク切れ]




参考文献


  • J.J. Sakurai 『現代の量子力学』上、桜井明夫訳、吉岡書店〈物理学叢書56〉、1989年2月。ISBN 978-4-8427-0222-3。


関連項目



  • 正規直交系

  • 数学に関する記事の一覧









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